Una barca diretta a nord attraversa un ampio fiume con una velocità di 10 km orari rispetto all'acqua e ha 5 km orari verso est, qual è la velocità rispetto all'osservatore stazionario a terra?

La velocità della barca rispetto all'osservatore stazionario a terra può essere trovata utilizzando l'addizione vettoriale. Possiamo rappresentare la velocità della barca rispetto all'acqua come un vettore \(\overrightarrow{v_b}\) di grandezza 10 km/h con un angolo di 0° (poiché la barca è diretta verso nord). La velocità dell'acqua rispetto al suolo può essere rappresentata come un vettore \(\overrightarrow{v_w}\) di grandezza 5 km/ora con un angolo di 90° (poiché l'acqua scorre verso est).

Per trovare la velocità della barca rispetto al suolo sommamo i due vettori:

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

Usando la legge dei coseni, possiamo trovare la grandezza del vettore risultante:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori. Sostituendo i valori dati, otteniamo:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/ora}$$

Per trovare l'angolo del vettore risultante, possiamo usare la legge dei seni:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Sostituendo i valori dati, otteniamo:

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11.18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\sinistra(\frac{5}{11.18}\destra)$$

$$\theta =26,57°$$

Pertanto, la velocità della barca rispetto all'osservatore fermo a terra è di 11,18 km/ora con un angolo di 26,57° nord-est.